محاسبه منطقه

منطقه اندازه گیری میزان فضای موجود در یک شکل است. محاسبه مساحت یک شکل یا سطح می تواند در زندگی روزمره مفید باشد - به عنوان مثال ممکن است بدانید که برای پوشاندن یک دیوار یا چه مقدار بذر چمن برای کاشت چمن ، چه مقدار رنگ برای خرید دارید.

این صفحه موارد ضروری را که شما باید بدانید برای درک و محاسبه مناطقی از اشکال مشترک از جمله مربع ها و مستطیل ها ، مثلث ها و دایره ها را در بر می گیرد.

محاسبه منطقه با استفاده از روش شبکه

هنگامی که یک شکل روی یک شبکه مقیاس کشیده می شود ، می توانید با شمارش تعداد مربع های شبکه در شکل ، منطقه را پیدا کنید.

در این مثال 10 مربع شبکه در داخل مستطیل وجود دارد.

برای یافتن مقدار منطقه با استفاده از روش شبکه ، باید اندازه ای را که یک مربع شبکه نشان می دهد بدانیم.

این مثال از سانتیمتر استفاده می کند ، اما همین روش برای هر واحد طول یا فاصله اعمال می شود. به عنوان مثال می توانید از اینچ ، متر ، مایل ، پا و غیره استفاده کنید.

در این مثال ، هر مربع شبکه دارای عرض 1 سانتی متر و ارتفاع 1 سانتی متر است. به عبارت دیگر ، هر مربع شبکه یک "سانتی متر مربع" است.

مربع های شبکه را در داخل مربع بزرگ بشمارید تا منطقه آن را پیدا کنید ..

16 مربع کوچک وجود دارد بنابراین مساحت مربع بزرگ 16 سانتی متر مربع است.

در ریاضیات "سانتیمتر مربع" را به CM 2 مختصر می کنیم. این 2 به معنای "مربع" است.

هر مربع شبکه 1cm 2 است.

مساحت مربع بزرگ 16 سانتی متر 2 است.

شمارش مربع روی یک شبکه برای یافتن منطقه برای همه اشکال - تا زمانی که اندازه شبکه شناخته شده باشد. با این حال ، هنگامی که شکل ها دقیقاً یا هنگامی که نیاز به شمارش کسرهای مربع شبکه ندارند ، این روش چالش برانگیزتر می شود.

در این مثال مربع دقیقاً روی شبکه قرار نمی گیرد.

ما هنوز هم می توانیم با شمارش مربع های شبکه ، منطقه را محاسبه کنیم.

• 25 مربع کامل شبکه (سایه دار به رنگ آبی) وجود دارد.
• 10 مربع نیمی از شبکه (سایه دار به رنگ زرد) - 10 مربع نیمی از 5 مربع کامل است.
• همچنین 1 چهارم مربع (سایه دار به رنگ سبز) - (¼ یا 0. 25 از یک مربع کامل) وجود دارد.
• کل مربع ها و کسری ها را به هم اضافه کنید: 25 + 5 + 0. 25 = 30. 25.

بنابراین مساحت این مربع 30. 25 سانتی متر 2 است.

همچنین می توانید این را به صورت 30 درجه 2 بنویسید.

اگرچه استفاده از یک شبکه و شمارش مربع به شکل یک روش بسیار ساده برای یادگیری مفاهیم منطقه است ، برای یافتن مناطق دقیق با اشکال پیچیده تر مفید است ، در حالی که ممکن است بخش های زیادی از مربع های شبکه وجود داشته باشد تا به هم اضافه شوند.

بسته به نوع شکلی که با آن کار می کنید ، می توان منطقه را با استفاده از فرمول های ساده محاسبه کرد.

باقیمانده این صفحه نمونه هایی از نحوه محاسبه ناحیه یک شکل بدون استفاده از سیستم شبکه را توضیح می دهد.

مناطقی از چهار ضلعی ساده: مربع ها و مستطیل ها و موازی ها

ساده ترین محاسبات منطقه (و متداول ترین) برای مربع ها و مستطیل ها است.

برای یافتن مساحت مستطیل ، ارتفاع آن را با عرض آن ضرب کنید.

مساحت مستطیل = ارتفاع × عرض

برای یک مربع فقط باید طول یکی از طرفین را پیدا کنید (زیرا هر طرف طول یکسان است) و سپس این کار را به خودی خود ضرب کنید تا منطقه را پیدا کنید. این همان گفته طول 2 یا طول مربع است.

خوب است که بررسی کنید که یک شکل در واقع یک مربع با اندازه گیری دو طرف است. به عنوان مثال ، دیوار یک اتاق ممکن است مانند یک مربع به نظر برسد اما وقتی آن را اندازه گرفتید ، متوجه می شوید که در واقع یک مستطیل است.

اغلب ، در زندگی واقعی ، شکل ها می توانند پیچیده تر باشند. به عنوان مثال ، تصور کنید که می خواهید مساحت یک کف را پیدا کنید ، تا بتوانید مقدار مناسب فرش را سفارش دهید.

یک طرح کف معمولی از یک اتاق ممکن است از یک مستطیل یا مربع ساده تشکیل نشده باشد:

در این مثال و نمونه های دیگر مانند آن ، ترفند تقسیم شکل به چندین مستطیل (یا مربع) است. فرقی نمی کند که چگونه شکل را تقسیم کنید - هر یک از سه راه حل منجر به همان پاسخ خواهد شد.

راه حل 1 و 2 مستلزم آن است که شما دو شکل درست کنید و مناطق آنها را به هم اضافه کنید تا مساحت کل را پیدا کنید.

برای راه حل 3 شما یک شکل بزرگتر (a) ایجاد می کنید و شکل کوچکتر (b) را از آن جدا می کنید تا منطقه را پیدا کنید.

مشکل متداول دیگر یافتن منطقه یک مرز است - شکل به شکل دیگری.

این مثال مسیری را در اطراف یک میدان نشان می دهد - مسیر 2 متر عرض دارد.

باز هم ، روش های مختلفی برای استفاده از منطقه مسیر در این مثال وجود دارد.

شما می توانید مسیر را به عنوان چهار مستطیل جداگانه مشاهده کنید ، ابعاد آنها و سپس منطقه آنها را محاسبه کنید و در نهایت مناطق را به هم اضافه کنید تا در کل قرار بگیرند.

یک راه سریعتر این است که از ناحیه کل شکل و مساحت مستطیل داخلی استفاده کنیم. منطقه مستطیل داخلی را از کل خارج کنید و از ناحیه مسیر خارج شوید.

• مساحت کل شکل 16m × 10m = 160m 2 است.
• ما می توانیم ابعاد بخش میانی را انجام دهیم زیرا می دانیم مسیر اطراف لبه 2 متر عرض دارد.
• عرض کل شکل 16 متر و عرض مسیر در کل شکل 4 متر (2 متر در سمت چپ شکل و 2 متر در سمت راست) است. 16m - 4m = 12m
• ما می توانیم همین کار را برای ارتفاع انجام دهیم: 10m - 2m - 2m = 6m
• بنابراین ما محاسبه کرده ایم که مستطیل میانی 12 متر × 6 متر است.
• بنابراین مساحت مستطیل میانی: 12m × 6m = 72m 2 است.
• سرانجام مساحت مستطیل میانی را از ناحیه کل شکل دور می کنیم. 160 - 72 = 88m 2.

مساحت مسیر 88m 2 است.

یک موازی شکل یک شکل چهار طرفه با دو جفت طرف با طول مساوی است-با تعریف یک مستطیل نوعی از موازی است. با این حال ، بیشتر افراد تمایل دارند که به موازات موازی به عنوان اشکال چهار طرفه با خطوط زاویه دار فکر کنند ، همانطور که در اینجا نشان داده شده است.

مساحت یک موازی به همان روش برای مستطیل (ارتفاع × عرض) محاسبه می شود اما درک این نکته مهم است که ارتفاع به معنای طول طرف های عمودی (یا خارج از عمودی) نیست بلکه فاصله بین طرفین است.

از نمودار می بینید که ارتفاع فاصله بین قسمتهای بالا و پایین شکل است - نه طول طرف.

به یک خط خیالی ، در زاویه های راست ، بین قسمت های بالا و پایین فکر کنید. این قد است.

محاسبه مساحت مثلث

فکر کردن در مورد مثلث به عنوان نیمی از مربع یا موازی می تواند مفید باشد.

با فرض اینکه شما می دانید (یا می توانید اندازه گیری کنید) ابعاد یک مثلث را می توانید با استفاده از این فرمول به سرعت منطقه آن را کار کنید:

مساحت یک مثلث = (ارتفاع × عرض) ÷ 2.

به عبارت دیگر می توانید منطقه یک مثلث را به همان روشی که منطقه برای یک مربع یا موازی است ، کار کنید ، سپس فقط پاسخ خود را با 2 تقسیم کنید.

ارتفاع یک مثلث به عنوان یک خط زاویه دار راست از خط پایین (پایه) تا "Apex" (نقطه بالا) مثلث اندازه گیری می شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است:

مساحت سه مثلث در نمودار فوق یکسان است.

هر مثلث دارای عرض و ارتفاع 3 سانتی متر است.

منطقه محاسبه می شود:

(ارتفاع × عرض) ÷ 2

مساحت هر مثلث 4. 5 سانتی متر 2 است.

در شرایط زندگی واقعی ممکن است با مشکلی روبرو شوید که شما را ملزم به یافتن منطقه یک مثلث می کند ، مانند:

شما می خواهید انتهای شیروانی یک انبار را نقاشی کنید. شما فقط می خواهید یک بار از فروشگاه تزئینات بازدید کنید تا مقدار مناسبی از رنگ را بدست آورید. می دانید که یک لیتر رنگ 10 متر 2 دیوار را پوشش می دهد. برای پوشاندن انتهای شیروانی چه مقدار رنگ لازم دارید؟

شما به سه اندازه گیری نیاز دارید:

الف - ارتفاع کل به اوج سقف.

ب - ارتفاع دیوارهای عمودی.

ج - عرض ساختمان.

در این مثال اندازه گیری ها عبارتند از:

مرحله بعدی به برخی از محاسبات اضافی نیاز دارد. در مورد ساختمان به عنوان دو شکل ، مستطیل و یک مثلث فکر کنید. از اندازه گیری هایی که دارید می توانید اندازه گیری اضافی مورد نیاز برای کار کردن مساحت انتهای شیروانی را محاسبه کنید.

اندازه گیری d = 12. 4 - 6. 6

D = 5. 8m

اکنون می توانید مساحت دو قسمت دیوار را کار کنید:

مساحت قسمت مستطیل شکل دیوار: 11. 6 6 6. 6 = 76. 56m 2

مساحت قسمت مثلثی دیوار: (11. 6 × 5. 8) ÷ 2 = 33. 64m 2

این دو منطقه را با هم اضافه کنید تا مساحت کل را پیدا کنید:

76. 56 + 33. 64 = 110. 2m 2

همانطور که می دانید یک لیتر رنگ 10 متر 2 دیوار را پوشش می دهد تا بتوانیم بدانیم که چند لیتر برای خرید نیاز داریم:

110. 2 ÷ 10 = 11. 02 لیتر.

در واقعیت ممکن است متوجه شوید که رنگ فقط در قوطی های 5 لیتری یا 1 لیتری فروخته می شود ، نتیجه آن بیش از 11 لیتر است. ممکن است شما وسوسه شوید که تا 11 لیتر دور شوید ، اما با فرض اینکه ما رنگ را آب نمی کنیم ، کاملاً کافی نخواهد بود. بنابراین شما احتمالاً تا کل لیتر بعدی دور خواهید شد و دو قوطی 5 لیتری و دو قوطی 1 لیتری خریداری می کنید که در مجموع 12 لیتر رنگ ایجاد می کند. این امکان هدر رفتن را فراهم می کند و بیشتر لیتر را برای لمس کردن در تاریخ بعدی باقی می گذارد. و فراموش نکنید ، اگر نیاز به استفاده از بیش از یک کت رنگ دارید ، باید مقدار رنگ یک کت را با تعداد کتهای مورد نیاز ضرب کنید!

مناطق دایره

به منظور محاسبه مساحت یک دایره ، باید قطر یا شعاع آن را بدانید.

قطر یک دایره طول یک خط مستقیم از یک طرف دایره به طرف دیگر است که از نقطه مرکزی دایره عبور می کند. قطر دو برابر طول شعاع است (قطر = شعاع 2 × 2)

شعاع یک دایره طول یک خط مستقیم از نقطه مرکزی دایره تا لبه آن است. شعاع نیمی از قطر است.(شعاع = قطر 2)

شما می توانید قطر یا شعاع را در هر نقطه اطراف دایره اندازه گیری کنید - نکته مهم این است که با استفاده از یک خط مستقیم که از (قطر) عبور می کند یا در (شعاع) مرکز دایره به پایان می رسد.

در عمل ، هنگام اندازه گیری دایره ها ، اندازه گیری قطر ساده تر است ، سپس برای یافتن شعاع به 2 تقسیم می شود.

شما به شعاع نیاز دارید تا از منطقه یک دایره استفاده کنید ، فرمول این است:

مساحت یک دایره = πr 2.

π = pi ثابت است که برابر با 3. 142 است.

r = شعاع دایره است.

r 2 (شعاع مربع) به معنای شعاع شعاع است.

بنابراین یک دایره با شعاع 5 سانتی متر مساحت:

3. 142 × 5 × 5 = 78. 55cm 2.

دایره ای با قطر 3M دارای منطقه است:

اول ، ما شعاع را کار می کنیم (3m ÷ 2 = 1. 5m)

سپس فرمول را اعمال کنید:

3. 142 × 1. 5 × 1. 5 = 7. 0695.

مساحت یک دایره با قطر 3M 7. 0695m 2 است.

مثال نهایی

این مثال برای حل مشکلات ساده منطقه ، بیشتر محتوای این صفحه را جلب می کند.

این خانه روبن م. بنیامین در بلومینگتون ایلینویز است که در فهرست ملی اماکن تاریخی در ایالات متحده ثبت شده است (شماره رکورد: 376599).

این مثال شامل پیدا کردن ناحیه جلوی خانه ، قسمت چوبی چوبی است - به استثنای درب و پنجره ها. اندازه گیری های مورد نیاز شما عبارتند از:

• همه اندازه گیری ها تقریبی هستند.
• نیازی به نگرانی در مورد مرز اطراف خانه نیست - این در اندازه گیری ها گنجانده نشده است.
• ما فرض می کنیم که تمام پنجره های مستطیل به همان اندازه هستند.
• اندازه گیری پنجره گرد قطر پنجره است.
• اندازه گیری درب شامل مراحل است.

منطقه قسمت چوبی چوبی خانه چیست؟

کار و پاسخ های زیر:

پاسخ به مثال فوق

ابتدا قسمت اصلی خانه را کار کنید - این مستطیل و مثلث است که شکل را تشکیل می دهد.

مستطیل اصلی (B × C) 8. 8 × 8. 8 = 66. 88m 2.

ارتفاع مثلث (A - B) 9. 7 - 7. 6 = 2. 1 است.

بنابراین مساحت مثلث (2. 1 × C) ÷ 2. 8. 8 × 8. 8 = 18. 48 است. 18. 48 ÷ 2 = 9. 24m 2.

مساحت کامل جلوی خانه مجموع مناطقی از مستطیل و مثلث است:

66. 88 + 9. 24 = 76. 12m 2.

در مرحله بعد ، مناطقی از ویندوز و درها را کار کنید تا بتوانند از منطقه کامل جدا شوند.

مساحت درب و مراحل (D × E) 4. 5 × 2. 3 = 10. 35m 2 است.

مساحت یک پنجره مستطیل (G × F) 2. 7 × 2. 7 = 3. 24m 2 است.

پنج پنجره مستطیل وجود دارد. مساحت یک پنجره را با 5 ضرب کنید.

3. 24 × 5 = 16. 2m2.(مساحت کل ویندوزهای مستطیل).

پنجره گرد دارای قطر 1 متر شعاع آن 0. 5 متر است.

با استفاده از πr 2 ، مساحت پنجره گرد را کار کنید: 0. 5 × 0. 5 × 0. 5 =. 0. 7855m 2.

بعد مناطق درب و پنجره ها را اضافه کنید.

(منطقه درب) 10. 35 + (منطقه ویندوز مستطیل) 16. 2 + (منطقه پنجره گرد) 0. 7855 = 27. 3355

سرانجام ، مساحت کل برای پنجره ها و درها را از منطقه کامل کم کنید.

76. 12 - 27. 3355 = 48. 7845

ناحیه جلوی چوبی چوبی خانه و پاسخ مشکل این است: 48. 7845m 2.

ممکن است بخواهید جواب را تا 48. 8 متر 2 یا 49m 2 دور کنید.

به صفحه ما در مورد تخمین ، تقریب و گرد مراجعه کنید.

خواندن بیشتر از مهارت های مورد نیاز شما

درک هندسه بخشی از مهارتهای مورد نیاز شما برای شماره گذاری

این کتاب الکترونیکی اصول هندسه را در بر می گیرد و به خواص اشکال ، خطوط و مواد جامد نگاه می کند. این مفاهیم از طریق کتاب ساخته شده اند ، با نمونه های کار شده و فرصت هایی برای شما می توانید مهارت های جدید خود را تمرین کنید.

این که آیا می خواهید اصول اولیه خود را مسواک بزنید ، یا به فرزندان خود در یادگیری آنها کمک کنید ، این کتاب برای شماست.