اندازه گیری ابعاد فراکتال اشیاء طبیعی از تصاویر دیجیتال

این یک موضوع مفید است. آزمایشگاه فیزیک کالج ، تشخیص پزشکی ، رشد شهری و غیره - کاربردهای زیادی وجود دارد. در این سایت توسط Paul Bourke About Google Earth Fractals می توانیم تصاویر با وضوح بالایی را بدست آوریم (در این پست آنها از نظر آزمایش برای آزمایشات از منبع وارد می شوند). به عنوان مثال ، در اطراف دریاچه ناصر در مصر:

ساده ترین روشی که من می دانم روش شمارش جعبه است که کاستی های زیادی دارد. ما از استخراج مرز شروع می کنیم - که شیء فراکتال است:

اکنون می توانیم تصویر را به جعبه ها تقسیم کنیم و ببینیم چند جعبه حداقل 1 پیکسل سفید دارند. این یک اجرای بسیار احتیاط آمیز است:

از این شیب 1. 69415 است که یک بعد فراکتال است که معنی دارد

بنچمارک: اگر این کار را با Res High Res از Koch Snowflake اجرا کنم ، چیزی شبیه به~1. 3 با شماره دقیق تر 4/log 3 ≈ 1. 26186.

سؤال: آیا می توانیم از روش شمارش جعبه فوق پیشرفت کنیم یا برویم؟

در صورت یافتن ابعاد فراکتال از هر تصویری از فراکتال طبیعی ، همه رویکردها قابل قبول هستند.

$ begingroup $ شما برنامه های زیادی در ریاضیات برای اندازه گیری ابعاد فراکتال و طیف چند فراکتال یک تصویر در کتاب دارید: جغرافیای فراکتال ، آندره دافین ، ویلی ، 2012 کتاب را در مورد Wolfram Mathematica ببینید |کتاب یا آمازون! [توضیحات تصویر را در اینجا وارد کنید] (wolfram.com/books/profile. cgi؟id=8108) $ endGroup $

$ begingroup $ vitaliy ، با احترام کامل ، گلوله های پایان یافته این سؤال را ایجاد می کنند (در واقع هیچ جای سوال وجود ندارد ، درست است؟) و نه گسترده. شاید بتوانید آن را تا حدودی متمرکز کنید و آن را بیشتر شبیه یک سوال واقعی کنید؟$ endgroup $

$ begingroup $ آیا می توانید نمونه هایی از استفاده از بعد فراکتال را توصیف یا پیوند دهید؟$ endgroup $

2 پاسخ 2

شما هنوز هم می توانید از تعداد جعبه استفاده کنید ، اما انجام آن باهوش تر :)

جعبه های شمارش با حداقل 1 پیکسل سفید از ImagePartition را می توان با استفاده از تصویر انتگرال ، با استفاده از تصویر انتگرال انجام داد ، تکنیکی که توسط ویو-جونز (2004) در چارچوب شناخت چهره محبوب خود استفاده می شود. برای یک انگیزه ریاضی (و اثبات) ، ویولا و جونز به این منبع اشاره می کنند.

در واقع ، شخصی قبلاً در مورد اجرای ریاضیات در اینجا سؤال کرده است.

آنچه تصویر یکپارچه به شما امکان می دهد انجام دهید این است که به طور مؤثر جرم کل هر مستطیل را در یک تصویر محاسبه کنید. بنابراین ، می توانید موارد زیر را تعریف کنید:

سپس ، جرم (محتوای سفید) یک منطقه است.

بنابراین ، به جای تقسیم تصویر با استفاده از ImagePartition ، می توانید لیستی از تمام جعبه های یک اندازه خاص را توسط

اگر PixelCount را در بالا اعمال می کنید ، مانند الگوریتم خود ، باید همان داده ها را داشته باشید اما سریعتر محاسبه می کنید.

پس از رویکرد شما در اینجا ، ما باید این کار را انجام دهیم

که بسیار نزدیک به بعد فراکتال واقعی برف (که من به عنوان ورودی از آن استفاده کردم) است.

دو نکته بایداز آنجا که این سریعتر است ، من جرات کردم جدول را در جعبه اندازه 3 تولید کنم. همچنین ، برخلاف ImagePartition ، جعبه های پارتیشن من با یک اندازه یکسان هستند و بنابراین ، جعبه های ناهموار را در لبه ها حذف نمی کند. بنابراین ، به جای انجام MinSize/2 همانطور که انجام دادید ، من MinSize/10 را قرار دادم - به استثنای مقادیر بزرگتر و گمراه کننده برای جعبه های بزرگ.

امیدوارم این کمک کند.

فقط الگوریتم را با 2 شروع کرد و این 10. 4371 + 1. 27008 x را بدست آورد. و با شروع 1 10. 4332 + 1. 26919 x ، بسیار بهتر است. البته برای تصویر برف برف شما طولانی تر اما هنوز در حدود 1 دقیقه طول می کشد.

و در آخر ، برای تصویر شما از Google Earth (EQYPT2.jpg) خروجی (از جعبه های 1 پیکسل شروع می شود)

در لپ تاپ من در 43. 5 ثانیه اجرا شد. استفاده از Paralleltable سریعتر است: حدود 28 ثانیه.

$ begingroup $ تصویری "برف برفی" وجود ندارد. هر سه تصویر از همان شیء آمده است (و من حدس می زنم بعد فراکتال برای همه آنها یکسان باشد) $ endgroup $

$ begingroup $ belisarius ، PO یک تصویر برفی Koch را به عنوان معیار منتشر کرد (به قسمت آخر پست مراجعه کنید) و این همان چیزی است که من استفاده کردم. من آن را به طور خلاصه "برف برفی" خواندم. از طرف دیگر ، این هنوز یک روش عددی است ، بنابراین بسته به تقریب ، تعداد آنها متفاوت خواهد بود. Update2 به تصویر eqypt2.jpg اشاره دارد ، همچنین توسط PO در دسترس است ، زیرا وی خواستار بهبود مناسب برای تصاویر زندگی واقعی شد.$ endgroup $

$ Begingroup $ 1 این بسیار مرتب است Caya ، متشکرم! من منتظر "کمی" خواهم بود که به این امید که کسی بتواند مواردی مانند مولتی فرکانس موجک یا مشابه را پیاده سازی کند.$ endgroup $

$ begingroup $ vitaliykaurov ، خوشحالم که آن را دوست داشتید. توجه داشته باشید که ویولا و جونز به درستی به پیوندی بین تصویر انتگرال و پایه موجک Haar در مقاله خود اشاره کردند. اگرچه این مورد بیشتر مورد بررسی قرار نگرفت. برای من هنوز پیوند بین مقاله ای که شما ذکر کردید و بعد فراکتال برای من مشخص نیست ، اما مطمئناً ارزش خواندن را دارد زیرا من به این نوع مشکلات علاقه مند هستم. به سلامتی.$ endgroup $

"آیا می توانیم روش شمارش جعبه را بهبود بخشیم؟"مطمئناً

But first of all, it is important to point out that if you are only checking if a box is empty or not you are effectively measuring the $D_0$ (the capacity or in other words the box-counting dimension). By referring to $D_0$ as the fractal dimension you are assuming that your object is a monofractal, i.e. that all its generalized dimensions $D_q$ (ref.1) $$ D_q=lim_fraclog><log>> $$

برابر هستند$ d_0 $ = $ d_1 $ (بعد آنتروپی) = $ d_2 $ (بعد همبستگی) و غیره.

به طور معمول باید از چنین فرضیاتی خودداری کنید ، مگر اینکه روند تولید را بدانید. با این حال ، حتی اگر فرض کنید که شیء یکپارچه است ، ادبیات برآورد ابعاد فراکتال نتیجه می گیرد که روش شمارش جعبه انتخاب بدی است. همانطور که Thelier آن را در "الگوریتم شمارش جعبه ، روشی ضعیف برای تخمین ابعاد شمارش جعبه" (Ref. 2).

پس چه می توانیم بکنیم؟اصل اساسی در برآورد ابعاد فراکتال ، مطالعه شی در مقیاس های مختلف است. سوال این است که چگونه می توان این مقیاس را نمونه برداری کرد. دو روش متفاوت از روش وجود دارد. مورد اول روشهای با اندازه ثابت است. این تعداد تعداد نقاط را در یک منطقه با اندازه ثابت (جعبه ها/کره) شمارش می کند. آنها عملکرد ضعیفی دارند زیرا شما هرگز نمی دانید چگونه جعبه های خود را رشد دهید (باید دو برابر ، سه گانه؟). مدرسه دوم روشهای جرم ثابت است. اینها با رسیدن به نزدیکترین همسایه خود گسترش می یابند. بنابراین آنها همیشه اطمینان می دهند که آنها همان توده را پوشش می دهند (از این رو نام). حتی اگر روشهای با جرم ثابت نسبت به روشهای اندازه ثابت قوی تر باشند ، هر دو از اندازه محدود و اثر لبه رنج می برند. بنابراین برای جلوگیری از لبه های شیء خود به برخی اقدامات اضافی نیاز دارید ، در غیر این صورت در مقیاس های بزرگ (از جرم/اندازه) شروع به دریافت این اثر سطح بندی می کنید (که در آخرین شکل خود نیز دارید).

چند سال پیش ، ما یک روش پیچیده (روش با استفاده از روش برقی ثابت) برای انجام دقیقاً همین کار را ایجاد کردیم (Ref. 3). در اینجا خلاصه ای از تخمین های بعد فراکتال با روش BFM آورده شده است:

من برای اولین بار با Snowflake Koch شما این کار را کردم و تمام $ D_Q $ S را کم و بیش برابر با 1. 25 $ $ دریافت می کنم ، همانطور که از یک مونوفراکتال انتظار دارید.

سپس من پرونده Egypt2.jpg را اجرا می کنم و همانطور که می بینید همه $ d_q $ s دقیقاً برابر نیستند. این می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا استدلال کند که خط ساحلی ممکن است چند عاملی باشد (حتی اگر کمی). نکته دیگری که باید توجه کنیم این است که شیب در کل دامنه انبوه یکسان نیست. اگر فقط دامنه $ [10 - 631] $ را در نظر بگیرید ، یک منحنی متفاوت $ d_q $ دریافت می کنید. این بدان معنی است که شیء در کل مقیاس خودی نیست. این همچنین می تواند توضیح دهد که چرا پاسخ قبلی در حالی که 1. 69 دلار پیدا می کنید ، $ d_0 $ حدود 1. 47 $ پیدا می کند. به عبارت دیگر ، یک استراحت مقیاس وجود دارد.