نحوه استفاده از جدول Z و ایجاد خود

یک جدول Z یا جدول عادی استاندارد ، نشان می دهد که درصد از مقادیر در یک توزیع عادی زیر یک نمره Z خاص قرار می گیرد. در اینجا نحوه استفاده از یکی و ایجاد خود خود آورده شده است.

مایکل گالاریکک در روابط توسعه دهنده در Intel و CNVRG. IO ، شرکت پشت پروژه ری کار می کند. Galayk به عنوان مربی با استنفورد تحصیلات مداوم خدمت کرده و از سال 2013 در علوم داده کار می کند.

سناریویی را تصور کنید که در آن می خواستیم نتایج آزمون استاندارد را از دو دانش آموز مقایسه کنیم. بیایید آنها را Zoe و Mike بنامیم. Zoe این عمل را گرفت و 25 گل به ثمر رساند ، در حالی که مایک SAT را گرفت و 1150 به ثمر رساند. کدام یک از تست های تست بهتر به ثمر رساندند؟و چه نسبت مردم از زو و مایک بدتر شده اند؟

نحوه استفاده از جدول z

یک جدول Z به شما می گوید منطقه زیر یک منحنی توزیع عادی ، در سمت چپ نمره Z. به عبارت دیگر ، این احتمال را برای یک امتیاز خاص به شما می گوید. برای استفاده از یکی ، ابتدا داده های خود را به یک توزیع عادی تبدیل کنید. سپس نمره Z مطابق در سمت چپ جدول را پیدا کنید و آن را با نمره Z در بالای جدول تراز کنید. نتیجه این احتمال را به شما می دهد.

برای اینکه بتوانید از یک جدول Z استفاده کنید و به این سؤالات پاسخ دهید ، باید نمرات را در تست های مختلف به یک توزیع عادی استاندارد N (میانگین = 0 ، STD = 1) تبدیل کنید.

نمره ACT و SAT به معنای و توزیع عادی است. توجه داشته باشید ، این نمره واقعی و توزیع در زندگی واقعی نیستند.|تصویر: مایکل گالارنیک

از آنجا که این نمرات در این تست ها توزیع عادی دارند ، می توانیم با استفاده از فرمول زیر ، هر دو آنها را به توزیع عادی استاندارد تبدیل کنیم.

معادله برای یافتن نمره Z در یک انحراف استاندارد.|تصویر: مایکل گالارنیک

با استفاده از این فرمول ، می توانید Z-Scores را برای Zoe و Mike محاسبه کنید.

Zoe (سمت چپ) و مایک (راست) Z-Score.|تصویر: مایکل گالارنیک

از آنجا که Zoe دارای نمره Z بالاتری از مایک است ، زو در تست خود عملکرد بهتری داشت.

نحوه استفاده از جدول z

در حالی که ما می دانیم که Zoe بهتر عمل کرده است ، یک جدول z می تواند به شما بگوید که در چه صدف تست قرار دارد. Z-نمرهاین احتمال است.

ورودی های جدول برای Z منطقه ای در زیر منحنی معمولی استاندارد در سمت چپ z است.(قرمز: مایک ؛ آبی: زو).|تصویر: مایکل گالارنیک

نحوه یافتن احتمال Z Zoe

برای استفاده از جدول Z-نمره ، از سمت چپ جدول شروع کنید و به 1. 2 بروید. در بالای جدول ، به 0. 05 بروید. این با مقدار 1. 2 + . 05 = 1. 25 مطابقت دارد. مقدار موجود در جدول . 8944 است که احتمال آن است. تقریباً 89. 44 درصد از مردم در این عمل بدتر از او بودند.

نحوه یافتن احتمال نمره Z مایک

نمره Z مایک 1. 0 بود. برای استفاده از جدول Z-نمره ، از سمت چپ جدول شروع کنید و به 1. 0 بروید. اکنون در بالای جدول ، به 0. 00 بروید. این با مقدار 1. 0 + . 00 = 1. 00 مطابقت دارد. مقدار موجود در جدول 8413 است که احتمال آن است. تقریباً 84. 13 درصد از مردم در SAT بدتر از او بودند.

این مهم است که در نظر داشته باشید که اگر نمره Z منفی دارید ، می توانید به سادگی از جدول استفاده کنید که حاوی نمرات Z منفی باشد.

نحوه ایجاد یک جدول z

در این بخش پاسخ می دهیم که مقادیر موجود در جدول Z با طی کردن روند ایجاد یک جدول Z-نمره از آن ناشی می شود. لطفاً اگر این بخش را درک نکردید نگران نباشید. مهم نیست اگر فقط می خواهید بدانید که چگونه از یک جدول Z-نمره استفاده کنید.

یافتن عملکرد چگالی احتمال

این بسیار شبیه به قانون 68-95-99. 7 است ، اما برای ایجاد یک جدول Z سازگار است. توابع چگالی احتمال (PDF) برای درک اینکه آیا می خواهید بدانید مقادیر موجود در یک جدول Z از کجا آمده است ، مهم است. از PDF برای مشخص کردن احتمال متغیر تصادفی که در یک محدوده خاص از مقادیر قرار دارد ، برخلاف گرفتن هر یک از یک مقدار استفاده می شود. این احتمال با انتگرال PDF این متغیر در آن محدوده داده می شود. یعنی توسط منطقه تحت عملکرد چگالی اما بالاتر از محور افقی و بین پایین ترین و بزرگترین مقادیر دامنه داده می شود.

این تعریف ممکن است معنی چندانی نداشته باشد ، بنابراین با نمودار کردن عملکرد چگالی احتمال برای توزیع عادی ، آن را پاک کنیم. معادله زیر عملکرد چگالی احتمال برای توزیع عادی است

عملکرد چگالی احتمال برای توزیع طبیعی.|تصویر: مایکل گالارنیک

بیایید با فرض اینکه ما میانگین (μ) صفر و یک انحراف استاندارد (σ) یک (توزیع عادی استاندارد) داشته باشیم ، آن را ساده کنیم.

عملکرد چگالی احتمال برای یک توزیع عادی استاندارد.|تصویر: مایکل گالارنیک

این را می توان با استفاده از هر زبانی ترسیم کرد ، اما من با استفاده از پایتون ، آن را انتخاب می کنم.

توزیع عادی با نمودار عملکرد چگالی احتمال. توجه کنید که در جدول قبلی Z-Score چقدر با تصویر مشابه به نظر می رسد.|تصویر: مایکل گالارنیک

نمودار بالا احتمال وقایع بلکه چگالی احتمال آنها را به شما نشان نمی دهد. برای به دست آوردن احتمال یک رویداد در یک محدوده معین ، باید ادغام شوید.

یافتن عملکرد توزیع تجمعی

به یاد بیاورید که ورودی های استاندارد معمولی جدول زیر منحنی معمولی استاندارد در سمت چپ Z (بین بی نهایت منفی و Z) هستند.

به یاد داشته باشید که ورودی های جدول منطقه ای در زیر منحنی معمولی استاندارد در سمت چپ Z هستند.|تصویر: مایکل گالارنیک

برای یافتن منطقه ، باید ادغام شوید. ادغام PDF عملکرد توزیع تجمعی (CDF) را به شما می دهد ، که تابعی است که مقادیر را به رتبه صدک خود در یک توزیع می رساند. مقادیر موجود در جدول با استفاده از عملکرد توزیع تجمعی یک توزیع عادی استاندارد با میانگین صفر و انحراف استاندارد یک محاسبه می شود. این را می توان با معادله زیر مشخص کرد.

معادله ادغام PDF با عملکرد چگالی تجمعی.|تصویر: مایکل گالارنیک

این یک انتگرال آسان برای محاسبه با دست نیست ، بنابراین من قصد دارم از پایتون برای محاسبه آن استفاده کنم. کد زیر احتمال ZOE را که دارای نمره Z 1. 25 بود ، محاسبه می کند و مایک ، که دارای امتیاز Z 1. 00 بود.

کد برای یافتن Zoe و نمره z.|تصویر: مایکل گالاریک

همانطور که کد زیر نشان می دهد ، این محاسبات می تواند برای ایجاد یک جدول Z انجام شود.

جدول عادی استاندارد ایجاد شده در این آموزش.|تصویر: مایکل گالارنیک

نکته مهم برای تأکید این است که محاسبه این جدول از ابتدا در صورت لزوم ناکارآمد است ، بنابراین ما معمولاً به استفاده از یک جدول عادی استاندارد از یک کتاب درسی یا منبع آنلاین متوسل می شویم.