محدودیت فوریه در ابعاد فراکتال کم

بگذارید $ s subset mathbb ^$be a smooth compact hypersurface with a strictly positive second fundamental form, $E$ be the Fourier extension operator on $S$ , and $X$ be a Lebesgue measurable subset of $mathbb ^$ . If $X$ contains a ball of each radius, then the problem of determining the range of exponents $(p,q)$ for which the estimate $| Ef |_(X)> lesssim | f |_(S)>$ holds is equivalent to the restriction conjecture. In this paper, we study the estimate under the following assumption on the set $X$ : there is a number $0 <alpha leq n$ such that $|X cap B_R| lesssim R^$ for all balls $B_R$ in $mathbb ^$ of radius $R geq 1$ . On the left-hand side of this estimate, we are integrating the function $|Ef(x)|^$ against the measure $chi _X ,>x$ . Our approach consists of replacing the characteristic function $chi _X$ of $X$ by an appropriate weight function $H$ , and studying the resulting estimate in three different regimes: small values of $alpha$ , intermediate values of $alpha$ , and large values of $alpha$ . In the first regime, we establish the estimate by using already available methods. In the second regime, we prove a weighted Hölder-type inequality that holds for general non-negative Lebesgue measurable functions on $mathbb ^$ and combine it with the result from the first regime. In the third regime, we borrow a recent fractal Fourier restriction theorem of Du and Zhang and combine it with the result from the second regime. In the opposite direction, the results of this paper improve on the Du Zhang theorem in the range $0 <alpha .

کلید واژه ها

طبقه بندی MSC

ثانویه: 28A75: طول ، منطقه ، حجم ، سایر تئوری اندازه گیری هندسی مقاله تحقیق تایپ اطلاعات مجموعه مقالات انجمن ریاضی ادینبورگ ، دوره 64 ، شماره 2 ، مه 2021 ، صص 373 - 407 کپی رایت

کپی رایت © نویسنده (ها) ، 2021. منتشر شده توسط انتشارات دانشگاه کمبریج به نمایندگی از انجمن ریاضی ادینبورگ

گزینه های دسترسی

با استفاده از یکی از گزینه های دسترسی در زیر ، به نسخه کامل این محتوا دسترسی پیدا کنید.(گزینه های ورود به سیستم دسترسی به نهادی یا شخصی را بررسی می کنند. در صورت دسترسی به محتوا ممکن است نیاز به خرید داشته باشد.)

منابع

Bennett ، J. and Vargas ، A. ، وسایل دایره ای تصادفی از تبدیل فوریه از اقدامات ، Proc. صبح. ریاضی. SOC. 131 (2003) ، 117 - 127. 10. 1090/S0002-9939-02-06696-0 CrossRefGoogle Scholar

Bourgain ، J. ، Besicovitch Type حداکثر اپراتورها و برنامه های کاربردی برای تجزیه و تحلیل فوریه ، ژئوم. functمقعد1 (1991) ، 147 - 187. 10. 1007/BF01896376 CrossRefGoogle Scholar

Demeter ، C. ، در مورد قضیه محدودیت برای paraboloid در $ Mathbb^$ ، Colloq. ریاضی . 156 (2019) ، 301 - 311. 10. 4064/cm7393-9-2018 CrossRefGoogle Scholar

Du ، X. and Zhang ، R. ، Sharp $ L^<2>برآورد $ از عملکرد حداکثر Schrödinger در ابعاد بالاتر ، آن. ریاضی . 189 (2019) ، 837 - 861. 10. 4007/Annals. 2019. 189. 3. 4 CrossRefGoogle Scholar

Du ، X. ، Guth ، L. ، Ou ، Y. ، Wang ، H. ، Wilson ، B. and Zhang ، R. ، تخمین های محدودیت وزنی و کاربرد برای مشکل تنظیم فاصله Falconer ، Am. J. Math.، برای ظاهر شدن ، Arxiv: 1802. 10186. Google Scholar

Erdoǧan ، M. B. ، یادداشتی در مورد تبدیل فوریه از اقدامات فراکتال ، ریاضی. resکاهنده11 (2004) ، 299 - 313. 10. 4310/mrl. 2004. v11. n3. a3 crossrefgoogle Scholar

Erdoǧan ، M. B. ، یک قضیه پسوند دوتایی فوریه و برنامه های مربوط به مشکل تنظیم فاصله ، int. ریاضی. resنه23 (2005) ، 1411 - 1425. 10. 1155/im. 2005. 1411 CrossRefGoogle Scholar

Guth ، L. ، یک تخمین محدودیت با استفاده از پارتیشن بندی چند جمله ای ، J. Am. ریاضی. SOC. 29 (2016) ، 371 - 413. 10. 1090/jams827 Scholar CrossRefGoogle

Guth ، L. ، تخمین محدودیت با استفاده از پارتیشن بندی چند جمله ای $ II $ ، Acta Math. 221 (2018) ، 81 - 142. 10. 4310/Acta. 2018. v221. n1. a3 CrossRefGoogle Scholar

Guth ، L. ، Hickman ، J. and Iliopoulou ، M. ، تخمین های تیز برای اپراتورهای انتگرال نوسان از طریق پارتیشن بندی چند جمله ای ، Acta Math. 223 (2019) ، 251 - 376. 10. 4310/Acta. 2019. v223. n2. a2 CrossRefGoogle Scholar

هریس ، T. L. J. ، پوسیدگی میانگین مخروطی از تبدیل فوریه ، Proc. صبح. ریاضی. SOC. 147 (2019) ، 4781 - 4796. 10. 1090/proc/14747 Crossrefgoogle Scholar

Hickman ، J. and Rogers ، K. ، برآورد محدودیت فوریه را در ابعاد بالاتر بهبود بخشید ، کامب. J. Math. 7 (2019) ، 219 - 282. 10. 4310/cjm. 2019. v7. n3. a1 crossrefgoogle Scholar

کیم ، جی. ، برخی اظهارات در مورد تخمین های محدودیت فوریه ، preprint ، arxiv: 1702. 01231. Google Scholar

Lucà ، R. and Rogers ، K. ، متوسط پوسیدگی تغییر فوریه از اقدامات با برنامه ها ، J. Eur. ریاضی. SOC.(JEMS) 21 (2019) ، 465 - 506. 10. 4171/jems/842 Crossrefgoogle Scholar

Mattila ، P. ، میانگین های کروی از فوریه از اقدامات با انرژی محدود: ابعاد تقاطع ها و مجموعه های فاصله ، Mathematika 34 (1987) ، 207 - 228. 10. 1112/S0025579300013462 CrossRefGoogle Scholar

Mitsis ، T. ، یک قضیه محدودیت استین-توماس برای اقدامات عمومی ، انتشار. ریاضی. Debrecen 60 (2002) ، 89 - 99. Google Scholar

Shayya ، B. ، برآورد محدودیت وزنی با استفاده از پارتیشن بندی چند جمله ای ، Proc. لند. ریاضی. SOC.(3) 115 (2017) ، 545 - 598. 10. 1112/plms. 12046 CrossRefGoogle Scholar

Sjölin ، P. ، تخمین میانگین های کروی از تبدیل فوریه و ابعاد مجموعه ها ، Mathematika 40 (1993) ، 322 - 330. 10. 1112/S0025579300007087 CrossRefGoogle Scholar

Tao ، T. ، حدس Bochner-Riesz دلالت بر حدس محدودیت ، دوک ریاضی دارد. ج. 96 (1999) ، 363 - 375. 10. 1215/S0012-7094-99-09610-2 CrossRefGoogle Scholar

Wang ، H. ، یک تخمین محدودیت در $ Mathbb ^$ با استفاده از جاروها ، preprint ، arxiv: 1802. 04312. Google Scholar

Wolff ، T. ، پوسیدگی وسایل دایره ای از تحولات فوریه از اقدامات ، int. ریاضی. resنه10 (1999) ، 547 - 567. 10. 1155/S1073792899000288 CrossRefGoogle Scholar

Wongkew ، R. ، حجم محلات لوله ای از انواع جبر واقعی ، Pacific J. Math. 159 (1993) ، 177 - 184. 10. 2140/pjm. 1993. 159. 177 CrossRefGoogle Scholar

Zahl ، J. ، یک قضیه از نوع Severi گسسته شده با برنامه های کاربردی برای تجزیه و تحلیل هارمونیک ، Geom. functمقعد28 (2018) ، 1131 - 1181. 10. 1007/S00039-018-0455-X CrossRefGoogle Scholar