روش برای حل مشکل سوراخ tessellation اریگامی با استفاده از تاشو پیچش مثلث

Yohei Yamamoto ، Riku Nakazato ، Jun Mitani ، روش حل مشکل سوراخ در اریگامی با استفاده از تاشو پیچ و تاب مثلث ، مجله طراحی محاسباتی و مهندسی ، جلد 9 ، شماره 1 ، فوریه 2022 ، صفحات 144-154 ، https://doi.org//roi.org/10. 1093/jcde/qwab074

خلاصه

Tessellations اریگامی قطعات هندسی است که از یک ورق واحد با جنبه های کاملاً با هم تداخل دارند. بیشتر تسویه حساب های اریگامی موجود با مشخص کردن اولین شبکه از خطوط چین و چروک روی کاغذ و سپس ترتیب الگوهای تکرار در امتداد شبکه ساخته می شوند. با این حال ، این روش طراحی محدود است زیرا نمی تواند تساوی های اریگامی را با الگویی طراحی کند که نمی توانند در یک شبکه مانند یک پنتاگون معمولی نشان داده شوند. در این مقاله یک روش جدید ساخت و ساز برای تساوی های اریگامی ارائه شده است که این مشکل را حل می کند و این گونه ها را غنی می کند. در روش پیشنهادی ، ابتدا یک مرز یک اریگامی تعیین می شود ، و سپس الگوهای به نام الگوهای برابر پیچ و تاب مثلث در داخل مرز قرار می گیرند. یک رویکرد مشابه به عنوان یک مشکل سوراخ شناخته می شود ، اگرچه در این مقاله ، مشکل تعریف می شود و به شکلی مناسب برای تساوی های اریگامی مورد بحث قرار می گیرد. در نتیجه ، یک روش ساخت و ساز مستقل از شبکه ارائه شد و با استفاده از نرم افزاری که روش را پیاده سازی می کند ، اصلاحات جدید اریگامی به دست آمد.

یک مشکل سوراخ برای طراحی اریگامی عمومی با محدود کردن آن به تساوی های اریگامی تعریف می شود.

روشی برای ساخت الگوی چروک از چین های پیچش مثلث متصل ارائه شده است.

روشی برای ساخت تستلای های اریگامی بدون استفاده از شبکه ارائه شده است.

مجموعه ای از چین های پیچ و تاب مثلث که برخی از آنها را تشکیل می دهند ، آشکار می شود.

1. معرفی

Tessellations اریگامی قطعات هندسی است که از یک ورق واحد با جنبه های کاملاً با هم تداخل دارند. نمونه ای از یک tessellation اریگامی در شکل 1A نشان داده شده است (Gjerde ، 2009). یک قطعه اریگامی را می توان با الگوی چروک آن تعریف کرد ، که حاوی مجموعه ای از خطوط چروک کوه و دره (نشان داده شده به رنگ قرمز و رنگ آبی رنگ در این کاغذ است) که هنگام باز شدن اریگامی روی یک کاغذ ظاهر می شود. خطوط چین و چروک کوه برای افزایش و تاشو است. خطوط شکاف دره برای غرق شدن و تاشو است. الگوی چروک قطعه در شکل 1b نشان داده شده است. این یک ترتیب تناوبی از الگوهای شش ضلعی در شکل 1C دارد. هنگامی که الگوی شش ضلعی تاشو می شود ، هر لبه مرزی دارای دو همپوشانی z به شکل است و مرز به یک شش ضلعی کوچک تبدیل می شود. مانند این مثال ، بسیاری از tessellations اریگامی دارای یک ترتیب دوره ای از الگوهای هستند که می توانند به شکل مشابهی کوچکتر تاشو شوند. در این مقاله ، ما چنین الگویی را الگوی اساسی می نامیم. این یک ماژول اساسی از یک اریگامی است. شکل 2 نمونه هایی از الگوهای اساسی را نشان می دهد. شکل 2A و B همچنین پیچ های پیچ خورده در حین پیچاندن مرکز کاغذ نامیده می شوند. بسیاری از الگوهای اساسی تک پیچ و تاب و یا چند برابر پیچ و تاب متصل هستند.

نمونه هایی از tessellations اریگامی "ستارگان فضایی منفی (Gjerde ، 2009)."(الف) یک مدل فیزیکی.(ب) الگوی چروک. ج) الگوی اصلی در یک شبکه مثلث.

نمونه هایی از الگوهای اساسی و چین های پیچش.(الف) پیچ و تاب مثلث.(ب) یک پیچ و تاب مربع.(ج) الگویی ساخته شده توسط سه (a) و سه تقارن آینه (a).(د) الگویی ساخته شده توسط دو (B) و دو تقارن آینه (B).

یک الگوی چروک از یک تساوی اریگامی از الگوهای اساسی تشکیل شده است. برای اتصال دو الگوی اساسی ، لبه هایی که باید به هم وصل شوند باید به همان روش تاشو شوند. به عنوان مثال ، دو الگوی اساسی با تقارن آینه در لبه اتصال این شرایط را نگه می دارد. اگر هر یک از دو الگوی اساسی دارای یک مرز مربع یا مثلث شکل و همچنین تقارن چرخشی و آینه باشد ، با اتصال دو الگوی ، یک تساوی اریگامی ایجاد می کنیم (شکل 2C و D). بیشتر علاقه مندان به اریگامی با علامت گذاری یک شبکه مثلث مربع یا یک طرفه روی یک برگه و قرار دادن چین های پیچ و تاب در امتداد شبکه ، یک الگوی اساسی ایجاد می کنند. بنابراین ، این روش محدودیتی دارد که فقط الگوهای در طول شبکه می توانند ساخته شوند.

این مقاله با افزایش تعداد الگوهای اساسی ، غنی سازی انواع تساوی های اریگامی است. از طرف دیگر ، تکنیک های اریگامی به طور فعال برای ساختارهایی اعمال می شود که شامل کوچک شدن و استقرار با تاشو و آشکار شدن است. ما معتقدیم که دستیابی به هدف نیز برای ساخت تساوی اریگامی جدید و برای طراحی مکانیسم های کوچک قابل استفاده مفید خواهد بود. چنین سازه های قابل کوچک بودن به عنوان پانل های خورشیدی ماهواره ها (Miura & Natori ، 1985) ، ساختمانها (فیلیپوف و همکاران ، 2015) و سپرهای ضد گلوله شناخته می شوند (سیمور و همکاران ، 2018). انتظار می رود الگوهای اساسی تازه ساخته شده برای چنین ساختارهایی اعمال شود.

ما روشی را برای تولید الگوهای اساسی ارائه می دهیم که نمی توانند بر روی یک شبکه ساخته شوند ، مانند پنتاگون معمولی و چند ضلعی غیر منظم. روش پیشنهادی بر محدودیت یک مرز الگوی اساسی متمرکز است. به عنوان مثال ، الگوی اصلی را در شکل 3a مرتب شده در شکل 3b در نظر بگیرید. برای اتصال این الگوهای اساسی ، ما باید یک الگوی اساسی بسازیم که سوراخ رومبوس مرکزی را پر کند. الگوی ساخته شده باید به هر لبه مشترک اجازه دهد به همان روش تاشو شود. چنین روش ساخت و ساز به عنوان مشکل سوراخ شناخته شده است ، که در حال قرار دادن خطوط چروک در یک منطقه (به نام سوراخ) با محدودیتی در مورد چگونگی تاشو مرز است. مجموعه خطوط چروک را به عنوان راه حل نامیده می شود. راه حل باید یک مسطح جهانی باشد (به این معنی که هر جنبه در طی فرآیند تاشو از یکدیگر تلاقی نمی کند). تعریف مشکل و روشی برای ساخت نامزدهای راه حل که بین چین و دره های دره در خطوط چروک تمایز قائل نیستند (Demaine & Ku ، 2015). با استفاده از روش ، می توانیم شکل 3c را به عنوان نامزد محلول برای مشکل در شکل 3b بسازیم. از طرف دیگر ، برای حفظ تکنیک تاشو ، قسمت داخلی سوراخ باید از چین های پیچ و تاب و همچنین قسمتهای خارجی تشکیل شود (شکل 3D). بنابراین ، ما مشکل سوراخ را با ورودی و خروجی مناسب برای ساخت الگوهای اساسی به عنوان مشکل سوراخ در اریگامی به شرح زیر تعریف می کنیم.

نمونه هایی از (الف) یک الگوی اساسی ، (ب) یک سوراخ ، و (C و D) خطوط چین و چروک قرار داده شده در سوراخ.

مشکل سوراخ در اریگامی

با توجه به سوراخی که مرز آن به شکل مشابهی تاشو شود (برای تعریف دقیق به بخش 2. 3 مراجعه کنید) ، یک راه حل جهانی با مسطح پیدا کنید که محدود به الگوهای چین و چروک های پیچ و تاب مثلث متصل است که در داخل سوراخ قرار می گیرند (به بخش های 3. 1 مراجعه کنیدو 3. 2 برای تعریف دقیق).

روشهای راه حل موجود تضمین نمی کند که می توان راه حلی برای این مشکل بدست آورد. به عنوان مثال ، شکل 3C مورد چین های پیچ و تاب مثلث متصل نیست. ما شرایط لازم را برای راه حل نشان می دهیم و روش جدیدی را برای ساخت الگوهای چروک ارائه می دهیم که از شرط استفاده از کاشی کاری مثلث به عنوان راهنما استفاده می کند. روش پیشنهادی بسیاری از الگوهای چروک را به عنوان کاندیداهای راه حل برای یک مشکل سوراخ تساوی اریگامی ایجاد می کند. از آنجا که این روش بر اساس شرایط لازم است ، هیچ تضمینی برای دستیابی به راه حل وجود ندارد. با این حال ، در آزمایشات ما ، ما همیشه توانسته ایم یک راه حل برای یک سوراخ واحد بدست آوریم. علاوه بر این ، ما یک نرم افزار کاربردی را اجرا کردیم که با تغییر خصوصیات یک راهنمای برای تسهیل راه حل از کاندیداهای راه حل ، نامزدهای راه حل را ایجاد می کند. در نتیجه ، ما می توانیم الگوهای اساسی جدید بسازیم. در این مقاله روش پیشنهادی ارائه شده و نمونه هایی از الگوهای اساسی جدید ساخته شده توسط روش را نشان می دهد.

ساختار باقیمانده این مقاله به شرح زیر است: بخش 2 تحقیقات مرتبط را معرفی می کند و شرایط مربوط به مشکل سوراخ در اریگامی را مورد بحث قرار می دهد. بخش 3 روش ساخت نامزدهای راه حل را برای یک مشکل معین معرفی می کند. بخش 4 الگوهای اساسی به دست آمده توسط روش پیشنهادی را به عنوان نتایج ارائه می دهد. بخش 5 مقاله را خلاصه می کند و در مورد آثار آینده بحث می کند.

2 مشکل سوراخ اریگامی

در این بخش تحقیقات مرتبط در مورد طرح های اریگامی و tessellations اریگامی توضیح داده شده و در مورد سوراخ ها به عنوان ورودی به مشکلات سوراخ در اریگامی مورد بحث قرار می گیرد. در این مقاله از نماد هندسی زیر استفاده می کنیم. قطعه خط یا طول بین دو نقطه V_منو v_j is represented by |$overline>_>_>$ | u2060 ، و بردار از V_منبه v_jتوسط | $ overrightarrow نشان داده شده است<>_>_>> (=>_>_) $ | u2060. محصول داخلی V_منو v_jتوسط V نشان داده شده است_من· v_jبشرزاویه داخلی چند ضلعی در راس V_منتوسط ∠ V نشان داده شده است_من.

2. 1 طراحی اریگامی

طراحی اریگامی را می توان به عنوان برنامه ریزی خطوط چروک برای تنظیم شکل مورد نظر از یک ورق کاغذ تعریف کرد. رویکرد شکل درختی که توسط Meguro (Meguro ، 1991) معرفی شده است و توسط لنگ (لانگ ، 1996) و رویکرد طراحی جعبه جعبه (Lang ، 2011) شرح داده شده است ، به روش های طراحی اریگامی شناخته می شوند. این رویکردها یک الگوی چروک از یک ساختار اسکلتی را نشان می دهند که شکل مورد نظر را نشان می دهد. بنابراین ، اینها برای طرح های حیوانات و حشرات مناسب هستند. طرح های اریگامی حتی برای قطعات بدون ساختار اسکلتی پیشنهاد شده است. چنین قطعاتی شامل قطعاتی با محور تقارن و منحنی های تاشو (Mitani ، 2009) ، مدل های مش مثلث سه بعدی (3D) (Tachi ، 2009b) و tessellations اریگامی (به بخش 2. 2 مراجعه کنید).

طراحی اریگامی همچنین در مهندسی برای طراحی سازه های کوچک و قابل استفاده استفاده شده است. به عنوان مثال ، رویکردهایی برای ساخت سطوح آزاد سه بعدی با استفاده از الگوهای به نام سفت و سخت تاشو ، که جنبه آن در طی فرآیند تاشو کشیده یا خم نمی شود ، توسط تاچی پیشنهاد شده است (Tachi ، 2009a ، 2010). الگوهای تاشو سفت و سخت را می توان از پانل های سفت و سخت متصل به لولا ساخته شد که این یک ویژگی اصلی در ساخت محصولات مهندسی است. بر اساس رویکردها ، تحقیقات برای تولید الگویی در حال انجام است که سطح مدل سه بعدی مورد نظر را بهتر می کند (ژائو و همکاران ، 2018 ؛ هو و همکاران ، 2021). یکی دیگر از رویکردهای طراحی ساختمانها با ترکیب سازه های تلسکوپی لوله ای با الهام از Miura-ori نیز پیشنهاد شده است (فیلیپوف و همکاران ، 2015). از طرف دیگر ، چین های پیچ و تاب مثلث الگوهای تاشو غیرقانونی هستند (ایوانز و همکاران ، 2015). با این حال ، مواردی وجود دارد که می توان با اضافه کردن چند شکاف ، الگوهای را به سختی تاشو کرد (Yamamoto & Mitani ، 2021). بنابراین ، الگوهای چروک ساخته شده با روش پیشنهادی ما نیز انتظار می رود برای مهندسی اعمال شود.

2. 2 تحقیقات مرتبط در مورد tessellations اریگامی

در این بخش ، ما روشهای کلی برای ساخت تستلامی اریگامی را معرفی می کنیم. در بیشتر موارد ، یک کاغذ مربع چندین بار برای تهیه یک شبکه مثلث مربع یا یک طرفه تاشو می شود و خطوط چروک در امتداد شبکه قرار می گیرد. به عنوان مثال ، Hydrangeas ، نمونه های شناخته شده ای از tessellations اریگامی (Fujimoto ، 1982) ، و قطعات موجود در کتاب های مقدماتی در مورد اریگامی از شبکه ها برای ساخت از شبکه ها استفاده می کنند (Gjerde ، 2009 ؛ Dileonardo-Sparker ، 2020 ؛ Gañan ، 2020 ؛ Garibi ، 20202020). همچنین تحقیقاتی وجود دارد که نشان می دهد طرح ساخت شبکه ها (کرین ، 2015).

از طرف دیگر ، روشهای ساخت و ساز مستقل از شبکه در زمینه علوم کامپیوتر ارائه شده است. به عنوان مثال ، یک نرم افزار TESS می تواند الگوهای چروک را بسازد که در آن چین های پیچ و تاب با کوچک کردن و چرخش الگوهای کاشی کاری چند ضلعی معمولی به هم وصل شوند (باتمن ، 2002). ثابت شده است که می توان از روش کوچک و پر پیچ و خم برای الگوهای کاشی استفاده کرد که شرایطی به نام شرایط Spiderweb را در خود جای داده است (Lang & Bateman ، 2011). به عنوان مثال ، tessellations اریگامی را می توان از نمودارهای Voronoi که این بیماری را نگه می دارد ساخته شود (Mitani ، 2013). علاوه بر این ، روش هایی برای ساخت قطعات مانند پرچم (Lang ، 2015) و قطعاتی که الگوهای متشکل از ارقام و زمین ها را بیان می کنند (Yamamoto & Mitani ، 2018) از کاشی کاری که این بیماری را حفظ می کنند ، پیشنهاد شده است. روشی برای تاشو مرز یک ورق کاغذ معین به شکل مشابه ، شرط الگوی اساسی نیز ارائه شده است (دم و همکاران ، 2015). روش پیشنهادی ، که مشکل سوراخ در اریگامی را حل می کند ، همچنین می تواند الگوهای چروک ایجاد شده توسط این روشهای مختلف را به هم وصل کند.

2. 3 تحقیقات مرتبط در مورد مشکل سوراخ

مشکل سوراخ به عنوان یک مشکل بسیار مهم در طراحی قطعات پیچیده اریگامی شناخته شده است. به عنوان مثال ، مدل های واقع بینانه حیوانات و حشرات با تنظیم الگوهای چروک طراحی شده از سر ، بدن ، پاها و غیره بر روی یک برگه کاغذ طراحی شده اند. در این حالت ، قرار دادن خطوط چروک در منطقه احاطه شده توسط قطعات ، یک مشکل سوراخ است. تعریف مشکل سوراخ و روش محدود راه حل آن توسط Demaine ارائه شده است (Demaine & Ku ، 2015). این روش مشکل سوراخ را در زمان چند جمله ای حل می کند و تعداد محدودی از نامزدهای راه حل را ایجاد می کند که تمایز بین کوه ها و دره ها و قابلیت مسطح جهانی را نادیده می گیرند.

عناصر هندسی مشکل سوراخ tessellation اریگامی در این مقاله به شرح زیر تعریف شده است ، به دنبال مقاله توسط Demaine و همکاران.(Demaine & O'Rourke ، 2007 ؛ Demaine & Ku ، 2015). یک سوراخ چند ضلعی بسته در | $ Mathbb ^2 $ |احاطه شده توسط الگوهای چین و چروک مسطح ، مشخص شده توسط ص. بگذارید ∂ P مرز P و V (P) را نشان دهد که رئوس P را نشان می دهد. یعنی | $ v (p) subset partial subset p subset mathbb ^2 $ | u2060. ما می گوییم V_من، v_j ∈ V ( P ) are |$it adjacent$| if |$overline>_>_> in partial $| and |$overline>_>_> cap V(P) =lbrace>_,>_ rbrace $ | u2060. حالت تاشو از ∂ p توسط یک نقشه برداری ایزومتریک مداوم و پراکنده نشان داده شده است | $ f: جزئی RightArrow Mathbb ^2 $ | u2060 ؛یعنی V تاشو_من∈ V (p) توسط f (v) مشخص می شود_من) و تاشو ∂ P توسط F (∂ P) مشخص می شود. ورودی به مشکل سوراخ سوراخ P و F است و محلول یک الگوی چروک است که می تواند در داخل P قرار داده و تاشو شود به طوری که ∂ P تبدیل می شود (P). اگر مشکل سوراخ راه حلی داشته باشد ، نقشه برداری داده شده وضعیت زیر را در خود جای داده است (این شرایط برای حل مشکل سوراخ لازم است).

با توجه به سوراخ P و نقشه برداری مرزی F ، f را تعریف کنید که اگر معتبر باشد